no-img
سیستم همکاری در خرید و فروش فایل نگزاوار

***مکانیک شکست***طراحی با روش مکانیک شکست-پایان نامه رشته مکانیک

help

سوالی دارید؟09369254329

سیستم همکاری در خرید و فروش فایل نگزاوار
آشنایی با سیستم خرید،فروش و بازاریابی نِگزاوار

پرداخت امنلینک فوریپشتیبانیضمانت
گزارش خرابی لینک
اطلاعات را وارد کنید .

ادامه مطلب

مکانیک شکست-تاریخچه‌ای از مکانیک شکست – تحلیل مسائل ترک – کرنش صفحه ای در مقابل تنش صفحه ای – رشد ترک در حالت خزش -ترمیم منطقه پلاستیک بروش ایروین- ترمیم منطقه پلاستیک بروش داگدیل- اثر تمرکز تنش ترک – تحقیقات در مکانیک شکست پس ازجنگ دوم جهانی – طراحی با روش مکانیک شکست –
zip
آبان ۲۴, ۱۳۹۵

مکانیک شکست-تاریخچه‌ای از مکانیک شکست – تحلیل مسائل ترک – کرنش صفحه ای در مقابل تنش صفحه ای – رشد ترک در حالت خزش -ترمیم منطقه پلاستیک بروش ایروین- ترمیم منطقه پلاستیک بروش داگدیل- اثر تمرکز تنش ترک – تحقیقات در مکانیک شکست پس ازجنگ دوم جهانی – طراحی با روش مکانیک شکست –


مکانیک شکست-تاریخچه‌ای از مکانیک شکست - تحلیل مسائل ترک - کرنش صفحه ای در مقابل تنش صفحه ای - رشد ترک در حالت خزش -ترمیم منطقه پلاستیک بروش ایروین- ترمیم منطقه پلاستیک بروش داگدیل- اثر تمرکز تنش ترک - تحقیقات در مکانیک شکست پس ازجنگ دوم جهانی - طراحی با روش مکانیک شکست -

پایان نامه رشته مکانیک در ۱۴۱ صفحه
[tabgroup][tab title=”مقدمه” icon=”fa-pencil-square-o”]یکی از عمده ‌ترین مسائلی که انسان از زمان ساختن ساده‌ترین ابزارها با آن مواجه بوده است پدیده شکست در اجسام می‌باشد و درواقع برای استفاده از مواد به صورت ابزارهای گوناگون باید مقاومت آنها را نیز می‌دانست. بنابراین به جرأت می‌توان گفت که علم مقاومت مصالح عمری برابر عمر تاریخ دارد. البته روند شناخت و برآورد مقاومت اجسام از روشهای تجربی و ابتدایی شروع شده و به روشهای کاملاً علمی قرن حاضر رسیده است.

علم مقاومت مصالح دارای شاخه‌های گوناگونی می باشد که رشد قابل توجهی داشته اند. یکی از شاخه های این علم با کاربرد زیاد و تحلیل علمی نسبتاً مشکل، مکانیک شکست می‌باشد. به توجه به لزوم بکارگیری مواد جدید و گوناگون در گستره وسیع تکنولوژی معیارهای نوینی در روش های طراحی را الزامی نموده است. در این میان علم مکانیک شکست مورد توجه خاصی قرار گرفته است.

مکانیک شکست به عنوان نظم مهندسی در دهه ۱۹۵۰ و توسط آقای Georg Rirwin در لابراتور تحقیقاتی ناوال (NRL) معرفی شد. درسالهای بعد در دهه ۱۹۶۰ مفاهیم مکانیک شکست طی تحقیقات مختلف در دانشگاهها و مراکز تحقیقاتی گسترش داده شدند. اصول مکانیک شکست کاربردهای مختلفی در طراحی مهندسی شامل آنالیز شکست سازهای تردد و پیش بینی گسترش ترک خستگی ، دارند. با توجه به اینکه ۸۰ درصد شکست‌های ترد ریشه  در گسترش ترک خستگی دارند استفاده از مکانیک شکست می‌تواند بسیارمفید باشد.

در این سیمنار سعی شده است اصول  مفاهیم اولیه مکانیک شکست و کاربرد آن در روسازیهای بتنی به اختصار توضیح داده شود.[/tab][/tabgroup]

[tabgroup][tab title=”قسمت هایی از متن (۱)”]

تاریخچه‌ای از مکانیک شکست

با پیشرفت تکنولوژی در عصر حاضر، پدیده شکست در اجسام از اهمیت بیشتری نسبت به گذشته برخوردار شد متلاشی شدن بسیاری از هواپیماها و فضاپیماها در طی دهه ای گذشته لزوم درک دقیق تری از مکانیک شکست در اجسام را در علوم جدید ایجاب می کند در واقع

چشمگیر اقتصادی را نیز مسبب می شود.

در طی سالهای پس از جنگ جهانی دوم پیشرفت های زیادی در مکانیک شکست حاصل شد ولی تا دانسته‌های زیادی همچنان باقی است و زمینه برای تحقیقات بیشتر فراهم می‌باشد.

تحقیقات اخیر نشان داده است که قیمت ضررهای ناشی از شکست ‌های

کشور را تشکیل می‌دهد. این مطالعات پیش بینی نموده است که اگر تکنولوژی پیشرفته زمان حاضر در این صنایع

، حدود ۲۸ میلیارد دلار دیگر صرفه جویی اقتصادی را در پی داشت.

توجه مکانیک شکست به جلوگیری از شکست ترد می باشد و به عنوان اصطلاح علمی کمتر از ۴۰ سال سابقه دارد هر چند که توجه به شکست ترد جدید نیست. باستانیان به این مساله توجه داشتند و برای جلوگیری از شکست سازه ها را به گونه ای طراحی می کردند که همواره در فشار باشند. بسیاری از سازه های مصریان، رومیان و ایرانیان باستان همچنان پابرجا هستند و از نظر علمی مهندسی جدید تحسین

دانش مکانیک آن زمان محدود بود ساخت بناها با طراحی موفق مستلزم سعی و خطاهای بسیاری بوده است.

انقلاب صنعتی دگرگونی عظیمی در مواد به کار رفته در سازه ها بوجود آورد

های صنعتی این امکان را بوجود آورد که بتوان از قابلیت کششی مواد نیز استفاده کرد. با وجود این تغییر در مصالح گاهی منجر به شکست‌های پیش بینی نشده می‌گردید. یکی از معروف ترین حوادث از نوع فوق گسیختگی

میلیون گالن شیره قند، مرگ ۱۲ نفر و مجروح شدن ۴۰ نفر و ضایعات بسیار گردید که علت آن همچنان مبهم مانده است.

تحقیقات اولیه در مکانیک شکست

یکی از اولین تلاشها برای مطالعه مقاومت مصالح به صورت سیستماتیک توسط لئونارد داوینچی اعلام شده و بر روی

آزمایش بر روی مقاومت یک مبله نشان داد که مقاومت میله با سطح مقطع آن متناسب است و مستقل از طول می‌باشد.

تحقیقات اصلی در قرن ۱۹ و با تغییر مصالح از چوب و آجر و سنگ به فولاد انجام شد. نخستین بار تأثیر گسترش ترک و نقش آن در گسیختگی خستگی توسط رانکلین (۱۸۴۳) و در رابطه با شکست محورهای راه آهن بحث شد.

تأثیر ترک در مقاومت شکست در اواخر قرن ۱۹ مورد توجه قرار گرفت ولی طبیعت

.گرفت. وی با استفاده از قانون اول ترمودینامیک توانست تئوری شکست را براساس یک تعادل ساده انرژی پایه گذاری کند.

بر طبق این تئوری، شرط ناپایداری در رشد ترک و شکست در یک جسم آنست که تغییر در انرژی کرنش حاصل از رشد ترک برای غلبه بر انرژی

ابعاد ترک در شیشه را پیش بینی می‌کرد. تلاش بعدی جهت تعمیم مدل گریفیث برای فلزات تا قبل از ۱۹۴۸ ناموفق بود زیرا این مدل فرض می کند که کار لازم برای شکست منحصراً ناشی از انرژی سطحی مواد است که در واقع این فرض تنها برای موارد کاملاً ترد صادق است.

تجربه کشتی‌های لیبرتی (Liberty)

در روزهای اول جنگ جهانی دوم ایالات متحده آمریکا در چهارچوب قرار دارد لنر لیز مبادرت به ارسال کشتی و هواپیما به

.ساخته می شدند اما بدلیل نیاز شدید زمان جنگ از جوشکاری استفاده شد که آن زمان روش جدیدی محسوب می شد. این عمل باعث کاهش چشمگیری در زمان ساخت کششتی‌ها شد. در طول چهار سال ۱۹۴۰ تا ۱۹۴۴ ، ۲۷۰۸ عدد از این کشتی ها ساخته شد. ولی در سال ۱۹۴۳ هنگامی که یکی از کشتی ها بین سیبری در آلاسکا در حرکت بود به دو نیم تقسیم شد. شکستهای بعدی در بسیاری از بدنه های دیگر کشتی‌ها در فاصله زمانی کوتاهی اتفاق افتاد به طوریکه از ۲۷۰۰ کشتی، ۴۰۰ کشتی دچار شکست در بدنه شدند. این

علل اساسی شکست ناشی از عوامل زیر بود:

  • جوشکاری توسط افراد نیمه ماهر انجام شده بود و ترک‌های ریز در قسمتهای جوش شده باقی مانده بود.
  • اکثر شکست‌ها از نواحی اتصالات گوشه‌ای که دارای تمرکز تنش‌ زیادی بودند شروع شده بود.
  • فولاد به کار رفته برای ساخت کشتی‌های لیبرتی از چقرمگی کمی برخوردار بوده است.

چنانچه در ساختن این کشتی ها با حفظ همان نوع فولاد از اتصالات پرچ شده استفاده می‌شد، عملاً امکان گسترش ترک از بین

. در برخی از کشتی‌ها گسترش ترک باعث دو نیم شدن کشتی در جهت عرضی شد. پس از وقوع حوادث فوق، در

دارای تمرکز تنش پرچ می‌شدند و نقش متوقف کننده ترک[۱] را ایفا می‌کردند.

تجربه هواپیماهای کمت[۲]

این هواپیماها ابتدا در سال ۱۹۵۲ ساخته شدند و اولین هواپیماهای مسافری با دو موتور جت بودند که قادر به پرواز ۴۰٫۰۰۰ فوت بودند. بعد از گذشت یک سال از بهره برداری سه هواپیما

بدنه هواپیما شده بود.

تحقیقات در مکانیک در مکانیک شکست پس ازجنگ دوم جهانی

تجربه کشتی‌های لیبرتی و هواپیماهای کمت باعث شد تا گروهی از محققان در آزمایشگاه تحقیقاتی دریایی در واشنگتن دی – سی امریکا مطالعات جدی را برای بهبود دانش مکانیک شکست در

شکست در اجسام فراهم شده است. مهمترین نقش ایروین در این رابطه ، تعمیم تئوری گریفیث برای فلزات بود. وی خاطر نشان ساخت که برای رشد ترک، علاوه بر انرژی سطحی بایستی انرژی لازم برای غلبه بر جریان پلاستیک در اطراف ترک نیز فراهم شود. او روان[۳] و موت[۴] نیز مستقلاً تئوری مشابهی را ارائه نمودند. در سال ۱۹۵۶ ایروین مفهوم نرخ رهایی انرژی [۵] را عنوان نمود که تعمیم تئوری گریفیث بود ولی

.ارتباط داد که رابطه مستقیم با نرخ رهایی انرژی دارد. این عامل بعداً به ضریب شدت تنش[۶] شناخته شد. در همین سالها ویلیامز روش دیگری را برای تحلیل تنش و تغییر مکان در نوک ترک ارائه نمود که اساساً با روش ایروین یکسان بود.

پس از جنگ جهانی دوم ، نقطه عطف دستاوردهای تحقیقاتی در زمینه مکانیک شکست حوالی سالهای ۱۹۶۰ می باشد که بنیادهای مکانیک شکست الاستیک خطی بخوبی شناخته شده بود. پس از غالب

.مدل « تصحیح منطقه پلاستیک» را ارائه نمود و داگدیل[۷] و باربنلات[۸] هر یک مبادرت به توسعه مدل‌های واقعی تری براساس نوار باریکی از ماده تسلیم شده در نوک ترک نمودند. ولز[۹] معیار شکست دیگری بر مبنای تغییر مکان در نوک ترک[۱۰] (CTOD) در ماده ای با تغییر شکل پلاستیک زیاد در هنگام شکست را پیشنهاد داد. در سال ۱۹۶۸ رایس[۱۱] با فرض رفتار الاستیک غیرخطی برای ماده ای با تغییر شکل پلاستیک موفق شد مفهوم نرخ رهایی انرژی را برای مواد با رفتار غیرخطی تعمیم دهد. او نشان داد که نرخ رهایی انرژی غیرخطی را می‌توان بر مبنای انتگرال خطی J در یک مسیر اختیاری در اطراف ترک محاسبه

.غیرخطی و همچنین بعنوان نرخ رهایی انرژی در نظر گرفته شود.

در سال ۱۹۷۶، شیه[۱۲] و هاتچینسن موفق به ارائه چهارچوب تئوریک برای کاربرد مفهوم مکانیک شکست در طراحی شدند که بر مبنای آن رابطه ریاضی بین چقرمگی، تنش و ابعاد ترک بر مبنای J مشخص می‌شد. شیه همچنین با برقراری بین J و تغییر مکان نوک ترک CTOD نشان داد که هر یک از دو مشخصه فوق می

زمان نظیر ویسکوالاستیک وویسکوپلاستیسیته گردید.

۳-۱- طراحی با روش مکانیک شکست

شکل ۲-۱ نموداری از دو روش طراحی سنتی و روش مکانیک شکست را  نشان می‌دهد. در روش طراحی سنتی سازه‌ها و ماشین های صنعتی، محاسبات تنش در اجزاء براساس مقاومت حد جاری و یا نهایی اجسام در کشش یا فشار انجام

مکانیک شکست، سه عامل تنش اعمال شده ، ابعاد ترک ( هر چند کوچک) و چقرمگی از معیارهای طراحی بشمار می‌آیند.

در تحلیل شکست از دو روش می توان استفاده کرده معیار انرژی و یا روش ارزیابی شدت تنش.

۱-۳-۱- معیار انرژی :

مطابق روش انرژی، گسترش ترک (شکست) هنگامی اتفاق می افتد که انرژی لازم برای رشد ترک وغلبه بر مقاومت ماده فراهم شده باشد. مقاومت ماده ممکن است شامل انرژی سطحی، کار پلاستیک و یا سایر تلفات انرژی در هنگام رشد ترک باشد.

گریفیث نخستین کسی بود که معیار انرژی را برای شکست اجسام شکننده مانند شیشه به کار برد. درحالیکه پایه گذار مفهوم انرژی شکست که در حال حاضر در مکانیک شکست بکار می رود را می توان.

انرژی معادل نرخ رهایی انرژی بحرانی.  ، درجسم می‌شود، شکست اتفاق می افتد که انرژی فوق شاخصی برای چقرمگی مواد است.

برای ترکی بطول a2 در یک ورق با ابعاد بی نهایت که تحت تنش کششی قرار دارد (شکل ۳-۱) نرخ رهایی انرژی بر واحد سطح عبارتست از :

(۱-۱)

که در آن E مدول الاستیسیته،  تنش اعمال شده در فاصله‌های دوراز ترک و a نصف طول ترک است. هنگامی که نرخ انرژی رها شده به حالت بحرانی (شکست) می‌رسد، ، معادله (۱-۱) بیان کننده ترکیب تنش و طول ترک بحرانی را مشخص می‌کند. باین ترتیب نتیجه می‌شود:

(۲-۱)

توجه گردد که برای مقدار ثابت  ، نقش بحرانی  باعکس ریشه طول ترک،  تغییر می کند.

نرخ رهایی انرژی ، G ، عامل محرک برای شکست را فراهم می کند و در صورتی که  عبارت از مقاومت ماده در مقابل شکست است. برای

.یک جسم، عامل محرک برای تغییر طول پلاستیک بوده در حالیکه تنش تسلیم، مقاومت ماده در مقابل جاری شدن است.

یکی از مفاهیم اساسی در مکانیک شکست این است که چقرمگی شکست مستقل از اندازه و ابعاد هندسی جسم دارای ترک می باشد. بنابراین می توان مقاومت ماده در مقابل شکست را مانند تنش تسلیم با انجام آزمایش بدست آورد.

۲-۳-۱- روش ضریب شدت تنش

شکل ۴-۱ وضعیت تنش های صفحه ای در المانی واقع در نزدیکی نوک ترک از یک ماده الاستیک را نشان می دهد که در آن اجزا تنش هر یک متناسب با مقدار ثابت  می باشد. اگر این مقدار ثابت معلوم گردد وضعیت کلی تنش در نوک ترک را می‌توان از معادلات شکل (۴-۱) بدست آورد. این عامل که «

. نیز عامل دیگری برای اندازه گیری چقرمگی شکست در اجسام می باشد. برای ورق نشانداره شده درشکل (۳-۱)، ضریب شدت تنش صورت زیر می باشد:

(۳-۱)

هنگامی که می‌شود، شکست اتفاق می افتد. در این حالت،  عامل محرک برای شکست و  مقاومت ماده در مقابل شکست است. همچنین فرض بر آنست که  یک خاصیت ماده مستقل از

.معادلات  (۱-۱) و (۳-۱)‌ رابطه  و G بصورت زیر می‌گردد:

(۴-۱)

رابطه مشابهی نیز برای  و  برقرار می باشد. بنابراین روش های انرژی و شدت تنش در مکانیک شکست برای مواد الاستیک خطی اساساً یکسان هستند.

۳-۳-۱- تلرانس خرابی

در اجزاء ماشین و یا سازها معمولاً ترکهای ریزی در هنگام ساخت و یا حمل و نقل بوجود می‌آید که عملا اجتناب

فرض کنید ترکی در یک سازه در اثر خستگی و یا خوردگی با گذشت زمان در حال رشد باشد (شکل ۵-۱). اگر چقرمگی شکست ماده معلوم باشد، روابط موجود در مکانیک شکست می‌توان در طول ترک بحرانی برای گسیختگی سازه را پیش بینی نماید. معمولا طول مجاز ترک با تقسیم طول بحرانی ترک بر ضریب اطمینان مناسبی تعریف می شود.

به این ترتیب سازه و یا اجزاء ماشین مجاز به ادامه کار

برسد. مثالهایی از رشد ترک وابسته به زمان را می‌توان دربارهای ناشی از خستگی، تأثیرات محیط، خزش و رشد ترک ویسکوالاستیک مشاهده کرد.

۱-۲- مقدمه:

مفاهیم مکانیک شکست که قبل از سال ۱۹۶۰ بدست آمده بود فقط برای موادی که قانون هوک پیروی می کنند صادق بود. گر چه برخی تصحیحات در روابط مکانیک شکست برای پلاستیسیته در

.ت مفاهیم پیشرفته تر در این زمینه ضروری است که در این فصل مورد بررسی قرار خواهد گرفت. این بحث با بررسی مختصری از شکست در مقایس اتمی آغاز می شود.

۲-۲- شکست در مقیاس اتمی

یک ماده هنگامی شکست می خورد که تنش و کار کافی برای غلبه بر پیوندهای بین اتمی آن فراهم شده باشد. شکل (۱-۲) نمودار تغییرات انرژی پتانسیل و نیرو را در مقابل

، نیروی کششی لازم بایستی بتواند بر نیروی چسبندگی بین اتمها غلبه نماید. انرژی اتصال عبارتست از :

(۱-۲)

که در آن  فاصله اتمی در حالت تعادل و P نیروی اعمال شده است.

مقاومت چسبندگی در سطح اتمی را می‌توان با ایده آل فرض کردن رابطه نیرو- تغییر مکان بصورت یک نیم موج سینوسی پیش بینی نمود:

(۲-۲)

که در آن فاصله  در شکل ۱-۲ تعریف شده است. برای سهولت

.اتمی (ثابت فنر) عبارتست از :

(۳-۲)

با ضریب طرفین این معادله در تعداد پیوندها بر واحد سطح و طول مبنا  ، k به مدول الاستیسیته E و  به تنش چسبندگی  تبدیل خواهد شد. اگر  تقریبا معادل فاصله بین اتمی فرض شود، پس از حل برای  خواهیم داشت:

(۴-۲)‌

و یا

(۵-۲)

باین ترتیب انرژی سطحی به صورت تقریبی برابر خواهد شد با :

(۶-۲)

انرژی سطحی بر واحد سطح،  برابر نصف انرژی شکست است، زیرا وقتی که ماده شکست می‌خورد، دو سطح شکست ایجاد می‌گردد. با قرار دادن معادله (۴-۲) در (۶-۲) و پس از حل برای  نتیجه می شود:

متن کامل در نسخه قابل خرید موجود است.[/tab][tab title=”قسمت هایی از متن (۲)”]

اثر تمرکز تنش ترک

روابط بدست آمده در بخش (۱-۲) نشان می دهند که مقاومت چسبندگی مواد از نظر تئوریک تقریبا معادل است، با این حال مقاومت شکست مواد حاصل از آزمایش معمولاً سه تا چهار مرتبه کمتر از مقدار فوق می‌باشد. آزمایشات انجام

این گونه مواد است. شکست اتفاق نخواهد افتاد مگر این که تنش در حد اتمی از مقاومت چسبندگی مواد تجاوز کند. بنابراین ترکهای ریز با افزایش تنش‌های محلی باعث کاهش مقاومت کلی ماده می‌شوند.

اولین تلاش برای نشان دادن اثر تمرکز تنش ترکهای ریز بوسیله اینگلیس [۱]

عرض ورق و  طول ورق. تنش در نوک محور اصلی (نقطه A) عبارتست از:

(۸-۲)

شکل ۲-۲ سوراخ بیضوی در یک ورق تخت

نسبت  بصورت ضریب تمرکز تنش  تعریف می شود. وقتی  است، سوراخ دایروی شده و  می باشد که با نتیجه بدست آمده از تئوری الاستیسیته یکسان است. با

دریافت که اگر تنش را بصورت تابعی از شعاع انحناء تعریف کند مناسب تر خواهد بود :

(۹-۲)

که در آن:

(۱۰-۲)

وقتی  معادله (۹-۲) بصورت زیر خواهد شد:

(۱۱-۲)‌

اینگلیس نشان داد که معادله (۱۱-۲)‌ تقریب خوبی برای تمرکز تنش در شکافی که تنها در نوک بیضوی است می‌دهد. باین ترتیب در نوک یک ترک که در آن  است، تنش بی نهایت خواهد بود.

این نتیجه در ابتدا بحث انگیز گردید زیرا هیچ ماده ای توان تحمل تنش بی نهایت را ندارد. باین ترتیب از نظر تئوری یک ماده دارای ترک

. بعنوان مثال فلزات تغییر شکل پلاستیک می‌دهند که باعث منحنی شدن نوک یک ترک نیز می‌گردد. در صورت عدم وجود تغییر شکل پلاستیک،

ان تقریبی از تمرکز تنش، در نوک یک ترک تیز با شعاع اتمی  بدست آورد:

(۱۲-۲)

اگر فرض شود هنگامی که  گردد شکست اتفاق می‌افتد، معادله (۱۲-۲) را می‌توان مساوی معادله (۷-۲) قرار داد و تنش شکست بصورت زیر محاسبه خواهد شد:

(۱۳-۲)

معادله (۱۳-۲) تقریبی از تنش شکست را می‌دهد زیرا فرض پیوستگی ماده در تحلیل اینگلیس برقرار است که در سطح اتمی معتبر نمی‌باشد.

۴-۲ موازنه انرژی گریفیث

برطبق قانون اول دترمودینامیک، هنگامی که سیستمی از حالت عدم تعادل به حالت تعادل می‌رود، مقدار خالصی از انرژی آن

.شرایط تعادل، بدون هیچ گونه تغییر خالص در انرژی کل صورت گیرد.»

ورقی را در نظر بگیرید که تحت تنش ثابت  قرار داشته و دارای ترکی بطول a2 می‌باشد، (شکل ۳-۲). فرض کنید >>2a عرض ورق بوده و شرایط تنش صفحه‌ای حاکم است. ( توجه کنید ورقهای شکلهای ۲-۲ و۳-۲ وقتی a>>b باشد یکسان

شود.

تعادل انرژی گریفیث برای یک افزایش جزئی در سطح ترک dA، در شرایط تعادل را می توان بصورت زیر بیان کرد:

(۱۵-۲)

و یا

 

که در آن  انرژی کل،  انرژی پتانسیل بدست آمده اند از انرژی کرنشی داخلی و نیروی خارجی و  کار لازم برای ایجاد سطوح جدید است. برای ورق دارای ترک نشان داده شده در شکل ۳-۲، گریفیث از تحلیل تنش اینگلیس استفاده کرده و نشان داد:

(۱۶-۲)

.

و

(b-18-2)

با مساوی قراردادن معادلات (a18-2) و (b18-2) و حل آن برای تنش شکست نتیجه می شود:

(۱۹-۲)

معادله (۱۹-۲) برای یک ترک  معتبر می‌باشد.

۱-۴-۲- ترمیم معادله گریفیث

معادله (۱۹-۲)‌ تنها برای مواد شکننده معتبر است. گریفیث توافق خوبی بین معادله (۱۹-۲) و مقاومت شکست شیشه از طریق تجربی بدست آورد ولی معادله او بخوبی نمی توانست مقاومت شکست فلزات را پیش بینی کند. ایروین [۳] و اوروان [۴]

(۱۹-۲) منظور نمایند. معادله ترمیم یافته بصورت زیر است:

(۲۰-۲)

که در آن  کار پلاستیک بر واحد سطح ایجاد شده در اثر رشد ترک است که معمولا بزرگتر از  می باشد. در یک ماده صلب ترد،

در واحد سطح می‌باشد.

هنگامی که ترک درون فلزات رشد می‌کند، حرکت نابجایی ها در نزدیکی ترک به جذب انرژی نیز کمک می‌کند. گر چه

 

که در آن  انرژی شکست است و شامل اثرات پلاستیک و ویکسو الاستیک و ویسکو پلاستیک برای مواد مختلف می باشد. انرژی شکست همچنین می‌تواند متأثر از دو شاخه شدن ترک باشد که منجر به افزایش سطوح ترک می‌گردد.

شکل (۴-۲) انواع رفتار مواد و انرژی شکست هر یک را نشان می‌دهد.

، رابطه (۲۱-۲) فرض می‌کند  ثابت است در صورتی که در بسیاری از مواد نرم، انرژی شکست با ازدیاد طول ترک افزایش می‌یابد.

۱-۳- مقدمه

یک جسم دارای ترک می‌تواند در سه شیوه[۱] مختلف تنش قرار گیرد که در شکل (۱-۳) نشان داده شده است. تنش‌های عمودی (نرمال) باعث باز شدن دهانه ترک با شیوه I-

لبه خارجی ترک
می باشد. شیوه III- یا مد پارگی ، در اثر اعمال تنش های برشی خارج از صفحه بوجود می‌آید. تغییر مکان سطوح ترک در صفحه ترک بوده ولی عمود بر لبه‌های کناری آن می‌باشد. جسم دارای

است.

مبانی ریاضی مکانیک شکست الاستیک خطی در پیوست (الف) آمده است. در اینجا مروری بر روشهای حل الاستیک مسائل دارای ترک ارائه می‌شود.

۲-۳- تابع تنش

مختصات z,y,x در جسم جامد دارای تنش در نظر گرفته می شود که در هر نقطه از جسم تنش های  را می توان

خواهد بود.

برای مسائل صفحه ای با صرف نظر از نیروهای جسمی معادلات تعادل عبارتند از :

(۱-۳)

اگر تغییر مکانها در جهت های y,x با v,u نشان داده شوند، روابط کرنش و تغییر مکان عبارتند از:

(۲-۳)

 

 

روابط بین تنش و کرنش در حالت تنش صفحه ای عبارتند از :

(۳-۳)

 

 

بطوری که رابطه مدول برشی  با مدول الاستیسیته E بصورت  می‌باشد که در آن  ضریب پواسون است.

با در نظر گرفتن تابع تنش ، معادلات تعادل (۱-۳) بشرطی برقرار است که:

(۴-۳)

 

 

با قرار دادن معادلات (۲-۳)‌و(۴-۳) در (۳-۳) و گرفتن دیفرانسیل مرتبه دوم، معادلات سازگاری زیر حاصل خواهد شد:

(۵-۳)‌

و یا

(۶-۳)

بطور کلی، مسائل صفحه ای درحالت الاستیک خطی را می توان با یافتن تابع تنش  که معادله (۶-۳) را برآورد

منابع مختلف بدست آورد. [۱]

۳-۳ تابع تنش مختلط

تابع مختلط زیر را در نظر بگیرید:

(۷-۳)

 

برای این که Z یک تابع آنالیتیک گردد، مشتق  بایستی بصورت واقعی تعریف شود که منجر به شرایط کوشی- ریمن خواهد شد:

(۸-۳)

 

برای حل مسائل ترک، شکلهای مختلفی از تابع تنش را  می توان استفاده نمود.

متعددی نشان داده اند که تابع پیشنهادی فوق کاملا صحیح نیست ولی مادامی که حالت تکینه[۲] تنش در نوک ترک

(۹-۳)

که در آن  عبارتند از :

(۱۰-۳)

با استفاده از معادلات کوشی – ریمن (۸-۳) نتیجه می شود:

(۱۱-۳)

این بدان معنی است که معادله (۹-۳) معادله سازگاری (۶-۳) را برآورد نماید. با استفاده از (۴-۳)، تنش‌ها را می توان به صورت زیر

 

هر گونه تابع آنالیتیک منجر به مشخص شدن تنش ها در معادله (۱۲-۳) خواهد شد. مرحله بعد بدست آوردن تابع  است که شرایط مرزی مورد نظر را برآورد نماید.

۴-۳- تحلیل مسائل ترک

ورقی دارای ترک با ابعاد نامحدود تحت تنش دو محوری که در شیوه I-

(۱۳-۳)

 

این تابع برای کلیه فواصل بجز تعریف شده است. تنش های مرزی از معادله (۱۲-۳) بدست می‌آیند. هنگامی که  ، نتیجه عبارتست از  و  در سطح

ده شده است. اگر مبدأ مختصات را به نوک ترک انتقال دهیم  جانشین z خواهد شد که مسئله راحت تر حل می‌گردد.

برای این که شرایط مرزی درشکل (۳-۳) برآورد شود، بایستی z بصورت زیر باشد:

(۱۴-۳)

که در آن  بایستی مقداری حقیقی و ثابت در مبدأ مختصات باشد. با مراجعه به معادله (۱۲-۳)  در سطوح ترک صفر بوده یعنی سطوح ترک دارای تنش نیستند. مقادیر واقعی و ثابت  در نوک ترک را می توان با  مشخص نمود. به این ترتیب:

(۱۵-۳)

با در نظر گرفتن

 

 

 

 

و یا

برای حالت تنش صفحه‌ای  و برای کرنش صفحه ای   است. پارامتر K دراین معادلات به ضریب شدت تنش[۳] شناخته می شود.

بایستی متناسب با بار خارجی باشند. برای حالت تنش تک محوری، که در فاصله های دور از ترک اعمال می شود،  بایستی متناسب با  باشد. برای این که رابطه ابعادی نیز در معادله (۱۶-۳) رعایت گردد، بایستی متناسب با ریشه دوم طول شود. برای ورقی با ابعاد نامحدود، تنها طول مشخصه، طول ترک است، باین ترتیب :

(۱۷-۳)

با

ترک نتیجه می شود.

(۱۸-۳)

.

معادلات (۱۴-۳) حل دقیق میدان تنش در منطقه  هستند. این معادلات برای منطقه ای از اطراف ترک که r در مقایسه با طور ترک کوچک باشد قابل استفاده باشند.

در تحلیل کلی، مرتبه های بالاتر  را نیز می توان منظور نمود. حل کلی بصورت زیر است:

(۲۲-۳)

و یا

(۲۳-۳)

مرتبه های دارای  نشان

بالاتر قابل صرف نظر بوده و معادلات (۱۴-۳) بصورت زیر ساده می شوند :

(۲۴-۳)

 

با روش تحلیل مشابه می‌توان میدان تنش در اطراف ترک را برای شیوه های II و III بدست آورد. باین ترتیب خواهیم داشت [۱۰].

شیوه II-

متن کامل در نسخه قابل خرید موجود است.

[/tab][tab title=”قسمت هایی از متن (۳)”]

اثر ابعاد حدود

برای تحلیل ترک در ورقهای با ابعاد محدود ، بدلیل پیچیدگی مسئله در شرایط مرزی خاص، تاکنون روش مشخصی ارائه نگردیده است. یک حل تقریبی برای نواری با عرض محدود و تحت کشش که دارای ترک درلبه می باشد می توان بدست آورد.

ابتدا ورقی با ابعاد نامحدود مطابق شکل (۴-۳) را در

قرار دارند. حل این مسئله توسط وسترگارد [۳]، ایروین [۱۰] و کوئیتر[۱۱] ارائه شده وعبارتست از :

(۲۸-۳)

اگر ورق در امتداد خطوط AB و CD بریده شود، نواری با عرض محدود W بدست می آید که دارای ترک مرکزی بطول۲a است. حل معادله (۲۸-۳) برای این نوار تقریبا معتبر بنظر می

را می توان بعنوان یک حل تقریبی برای نواری با ابعاد محدود بکار برد اگر  بسمت صفر میل کند، معادله (۲۸-۳) بسمت  میل خواهد کرد. این بدان معناست که

پاورقی با ابعاد محدود بدست آورد.[۴] معمولاً نتیجه را می توان بصورت زیر نشان داد:

(۲۹-۳)‌

که در آن Y تابع چند جمله ای از  است. ضریب  غالبا در Y ادغام می شود و گاهی مستقل از آن ظاهر می گردد. رابطه دیگری را که می توان برای یک نوار تحت کشش با تقریب خوبی جایگزین معادله (۲۹-۳) نمود عبارتست از :

(۳۰-۳)

با برش ورق در امتداد EF و CD در شکل (۴-۳) می توان نوارهای دارای ترک لبه ای را نیز حل نمود. برای اینحالت می توان تحلیل مشابهی مانند نوار با ترک مرکزی بکار برد.

ای ،  عبارتست از:

(۳۱-۳)

۱-۴- ترمیم منطقه پلاستیک بروش ایروین

چنانچه در بخش ۳ بحث شد، در نوک ترک یک جسم الاستیک، حالت تکینه تنش وجود دارد. معمولاً برخی مواد ( نظیر فلزات) دارای تنش حد جاری هستند که تحت تنش بالاتر از آن، رفتار پلاستیک نشان می دهند.باین ترتیب همواره در این گونه مواد در اطراف نوک ترک منطقه ای وجود دارد که در آن تغییر شکل پلاستیک اتفاق می افتد و حالت تکینه تنش نمی تواند وجود واقعی داشته باشد.

در

تقریب نخست به شعاع منطقه پلاستیک نسبت داد.

با قراردادن  به جای  در رابطه (۱۶-۳)، فاصله  را می توان برای حالت تنش صفحه ای بصورت زیر بدست آورد:

 

(۱-۴)

اگر از اثر کرنش سختی[۱] ماده صرف نظر شود، توزیع تنش برای  را می توان مطابق شکل (۱-۴) با یک خط راست نشان داد

بطور کامل پذیرفت زیرا هنگامی که ماده در این منطقه جاری شود، توزیع مجدد تنش بایستی

پلاستیک تحمل شود، زیرا تنش از حد جاری تجاوز نمی کند.

بنابراین برای برقراری تعادل حاصل از نیروی فوق، اندازه منطقه پلاستیک بایستی بزرگتر شود. با برقراری تعادل نیرو در این منطقه، شعاع منطقه پلاستیک واقعی را می توان پیش بینی نمود.

(۲-۴)

با گرفتن انتگرال وحل برای  نتیجه خواهد شد:

(۳-۴)

رابطه (۳-۴) نشان می دهد که  دو برابر  می باشد. با مراجعه به شکل (۱-۴) ملاحظه می شود که تنش توزیع شده مجدد در منطقه الاستیک

K باعث ازدیاد طول ترک کمی بیشتر از مقدار واقعی آن خواهد شد. بنابراین با قرار دادن نوک ترک موثر در مرکز منطقه پلاستیک (شکل ۲-۴) می توان K مؤثر را بدست آورد. باین ترتیب طول ترک مؤثر را می توان مجموع طول واقعی و شعات منطقه پلاستیک تعریف نمود.

(۴-۴)

که برای حالت تنش صفحه ای از رابطه ( ۱-۴) بدست می‌اید. برای حالت کرنش صفحه ای، در نوک ترک حالت سه محوری تنش وجود دارد وترمیم منطقه پلاستیک کوچکتر خواهد شد:

(۵-۴)

ضریب شدت تنش مؤثر با قرار دادن  در رابطه K بدست می‌آید:

(۶-۴)

برای بدست آوردن K از رابطه (۶-۴) از روش تکرار پیاپی[۲] استفاده می شود. باین ترتیب که ابتدا از اثر ترمیم پلاستیسیته

آورده، سپس  را محاسبه کرده و بعد مقدار تنش ترمیم یافته با روش تکرار پیاپی از رابطه  بدست می آید.

۲-۴- ترمیم منطقه پلاستیک بروش داگدیل

روش دیگری برای بدست آوردن منطقه پلاستیک بر مبنای مدل نوار تسلیم شده توسط داگدیل و بارنیلات [۲و۳] ارائه گردید. در این مدل نیز طول مؤثر ترک بلندتر از طول فیزیکی آن در نظر

ماده همچنان تنش تسلیم را تحمل کند.

این مدل در واقع ترکیبی از دوحل الاستیک برای جسم دارای ترک و تحت کشش وا عمال تنش‌های بازگردانده [۳] در ناحیه ترک بوده که با استفاده از اصل جمع جداگانه آثار بدست آمده است. از آنجا که تنش ها در نوار تسلیم شده محدود هستند، حالت تکینه در این منطقه برقرار نخواهد بود.

بنابراین ترمهای مربوطه در میدان تنش که با  تغییر می کند بایستی صفر باشند. طول منطقه پلاستیک  بایستی طوری انتخاب شود که ضرایب

ترک در فاصله x از مرکز ترک ( شکل ۴-۴ تخمین زد)

ضریب شدت تنش در دو نوک ترک برای ورقی به ضخامت واحد عبارتند از :

(۷-۴)

 

نیروی بازگردانده در نقطه ای واقع در نوار تسلیم شده برابر است با :

(۸-۴)‌

بنابراین مجموع ضرایب شدت تمرکز تنش در هر یک از دو نوک ترک را

و جمع اثر دو نوک ترک بدست آورد:

(۹-۴)

با حل این انتگرال نتیجه می شود :

(۱۰-۴)

ضریب شدت تنش حاصل از ورق تحت کشش  بایستی معادل باشد ، بنابراین

(۱۱-۴)

توجه شود وقتی  ،  به سمت بی نهایت میل خواهد کرد. با بسط مدل نوار تسلیم بروش تیلور رابطه (۱۱-۴) بصورت زیر در می‌آید:

(۱۲-۴)

بادر نظر گرفتن دو ترم اول و حذف بقیه ترمها و حل برای منطقه پلاستیک وقتی  نتیجه می شود:

(۱۳-۴)

با مقایسه روابط (۱۳-۴) و (۳-۴) و در نظر گرفتن  و  ملاحظه می شود که روشهای ایروین و داگلایل مقادیر تقریباً یکسانی از منطقه پلاستیک را پیش بینی می‌کنند.

۳-۴- شکل منطقه پلاستیک

تاکنون شکل

برای زوایای مختلف  بدست آورد. برای اینکار می توان از معیارهای تسلیم فون میسزیاترسکا استفاده کرد. بر طبق ترسکا، تسلیم هنگامی اتفاق می افتد که تنش ماگزیمم  از تنش تسلیم برشی، تجاوز کند. معیار تسلیم فون میسر را می توان برای تنشهای اصلی بصورت زیر نوشت:

(۱۷-۴)

که در آن  تنش تسلیم در کشش تک محوری است. در آزمایش نمونه کششی،  بوده و تسلیم هنگامی اتفاق می افتد که  باشد. از بخش دوم تنش در نوک ترک برحسب تنش های اصلی بصورت زیر بدست می آید:

(۱۸-۴)

در صفحه ، تنش های اصلی  برابر هستند و درصفحه x و y عمل می کنند. لذا  تنش اصلی است. برای حالت تنش صفحه ای ،  بوده و  می باشد. باین ترتیب اندازه منطقه پلاستیک برای  که در قسمت

.بصورت تابعی از  بدست آورد.

(۱۹-۴) کرنش صفحه ای

(۱۹-۴) تنش صفحه ای

باین ترتیب گسترش منطقه پلاستیک را می توان بصورت

مرز منطقه پلاستیک که با معادله (۲۰-۴) پیش بینی می شود بصورت بی بعد و با استفاده از  در شکل (۵-۴) رسم شده است.

.. بنابراین ضریب تصحیح منطقه پلاستیک که در رابطه (۱-۴) بدست آمد برای حالت کرنش صفحه ای مناسب نخواهد بود.

اگر از معیار ترسکا استفاده شود، شکل منطقه پلاستیک کمی تغییر خواهد کرد. با استفاده از دایره مور، تنش برشی ماکزیمم در حالت تنش صفحه ای برابر است با  و برای کرنش

ترسکا عبارتست از:

(۲۱-۴) تنش صفحه ای

کرنش صفحه‌ای ، بزرگترین مقدار  از روابط زیر است:

مطابق معادلات (۲۱-۴) منطقه ترسیم ترسکا یکی از شکلهای (b5-4) خواهد بود. منطقه تسلیم ترسکا کمی بزرگتر و متفاوت تر از منطقه فون میسزاست. تحلیل مشابهی می توان برای شیوه های II و III نمود. مناطق پلاستیک برای شیوه های فوق درشکل (۶-۴) نشان داده شده است.

برای بدست آوردن منطقه پلاستیک شکل (۵-۴) خطای مشابهی که درمعادله (

مورد معادله ( ۱-۴) نیست و نیاز به تحلیلهای تنش دقیقتری از منطقه اطراف ترک دارد.

 

با استفاده از روش المانهای محدود انجام شده، نشان می‌دهد.

محاسبات المانهای محدود با فرض رفتار پلاستیک ماده طبق رابطه تنش تک محوری زیر انجام گرفته است.

(۲۲-۴)

که در آن  بترتیب عبارتند از : کرنش تسلیم ، تنش تسلیم و توان کار سختی و a یک ضریب ثابت است.

۴-۴- کرنش صفحه ای در مقابل تنش صفحه ای

در مناطق داخلی یک ورق همواره حالت کرنش صفحه ای و در

.صفر بوده ، یعنی اگر حالت کرنش صفحه ای در مناطق داخلی ورق حاکم  باشد، در نتیجه اندازه منطقه پلاستیک از حالت تنش

ه منطقه پلاستیک از حالت تنش صفحه ای در سطح آزاد به حالت کرنش

.بزرگه در منطقه پلاستیک اتفاق می افتد نیاز به تامین مواد از مناطق دیگر دارد. وقتی منطقه پلاستیک در مقایسه با ضخامت ورق باندازه کافی

بزرگ می شود، مناطق نزدیک به سطح آزاد به راحتی تسلیم می شوند. شکل (a9-4) منطقه پلاستیک را در حالت تنش صفحه

.در اطراف مواد الاستیک،  صفر خواهد شد. در نتیجه منطقه پلاستیک در حالت کرنش صفحه ای کوچک خواهد شد.

نسبت اندازه منطقه الاستیک به ضخامت را می توان معیار مهمی برای ارزیابی حالت تنش دانست. اگر اندازه منطقه پلاستیک در حدود ضخامت ورق باشد، یعنی  به واحد نزدیک

.از ورق نزدیک لبه آزاد حالت تنش صفحه ای خواهد داشت.

اندازه منطقه پلاستیک متناسب با  است تمرکز تنش بیشتر و تسلیم کمتر باعث بزرگتر شدن منطقه پلاستیک خواهد شد. در نتیجه در صورتی که تنش تسلیم ماده ای کم و چقرمگی آن زیاد باشد، برای بدست آوردن چقرمگی بحرانی KIC ، بایستی حالت کرنش صفحه ای در نمونه آزمایش ایجاد شود که در این صورت ضخامت نمونه باید به اندازه کافی بزرگ باشد.

برای این که اختلاف رفتار تغییر شکل در حالت کرنش

ماکزیمم ، در صفحه ای با زاویه ۴۵ درجه نسبت به صفحات قرار دارد. اگر  (حالت تنش صفحه ای، )، صفحات فوق با زاویه ۴۵ درجه نسبت به محور xها از صفحه x-z  واقع خواهد شد.

در

،  شده و  خواهد شد (شکل b10-4). به

درجه نسبت به جهات  قرار خواهد داشت. با فرض

صفحات فوق با زاویه ۴۵ درجه از صفحه z در صفحه  x-z واقع خواهد شد.

تغییر شکل پلاستیک در اثر تنش های برشی و از طریق مکانیزم لغزش

نسبت به سطح ورق دارد منجر به تغییر شکل از نوع ۴۵ درجه برشی معمول برای حالت تنش صفحه ای می گردد (شکل (a11-4)

لغزش در صفحاتی که از محورها می گذرد منجربه تغییر شکل از نوع لولایی معمول برای حالت کرنش صفحه ای خواهد شد (شکل b11-4).

متن کامل در نسخه قابل خرید موجود است.[/tab][/tabgroup]

[tabgroup][tab title=”قسمت هایی از متن (۴)”]

ضریب قید پلاستیک

منطقه پلاستیک در حالت کرنش صفحه ای به طور قابل ملاحظه ای کوچکتر از حالت تنش صفحه ای است. علت آن ناشی از این واقعیت است که تنش موثر تسلیم در حالت کرنش صفحه ای بزرگتر از تنش تسلیم تک محوری است. تنش

مقدار  را می توان به عنوان تنش تسلیم موثر تعریف کرد. P.c.f. را می توان برای مسائل ترک در کرنش صفحه ای با قرار دادن  در معیارهای تسلیم فون میسز (۱۷-۴) بصورت زیر نوشت:

پس از مرتب کردن معادله (۲۳-۴) نتیجه می شود.

با استفاده از معادله (۲۴-۴) می توان p.c.f. را در هر نقطه از منطقه اطراف ترک بدست آورد. از معادلات میدان تنش (۱۸-۴) نتیجه می شود که:

 

و                             . در صحفه  بوده و با در نظر گرفتن  و با

.شکل پلاستیک، نوک ترک منحنی می شود. از آنجا که تنش عمود بر سطح آزاد وجود ندارد،  در نزدیک نوک ترک به سمت صفر میل خواهد کرد. در این صورت  شده یعنی حالت تنش صفحه ای برقرار می گردد، بنابراین  و تنش در نوک ترک از تنش تسلیم فراتر نخواهد رفت. توزیع تنش نهایی در شکل (۱۲-۴)

محدود نیز مطابقت دارد.

 

شکل (a12-4) نشان می دهد که منطقه پلاستیک در صفحه y=0 برای حالت تنش صفحه ای ۹ بار بزرگتر از حالت کرنش صفحه ای است، (با شکل ۵-۴ مقایسه شود).

با دانستن ضریب قید پلاستیک، می توان ضریب تصحیح منطقه پلاستیک را با روشی مشابه در بخش (۱-۴) بدست آورد. اگر تسلیم موثر در حالت کرنش صفحه ای  باشد، تصحیح پلاستیک از معادله (۱-۴) بصورت زیر خواهد شد:

در عمل، حالت کرنش صفحه ای در سطح آزاد نمونه وجود

.

مقادیر بدست آمده با آزمایش برای ضریب قید پلاستیک بین ۵/۱ تا ۲ می باشد که نشان دهنده کاربرد عملی معادله (۲۶-۴) است. یک روش برای تعیین ضریب قید پلاستیک بدون

، COD برابر است با:

از آنجا که  برای حالات خاص معلوم می باشند، با

مورد بحث قرار می گیرد.

۶-۴- اثر ضخامت

در بخشهای قبلی بحث گردید که ضخامت ورق تاثیر بسزایی در حالت تنش در منطقه نوک ترک دارد. برای حفظ حالت کرنش

به اندازه کافی بزرگ باشد. برای بدست آوردن چقرمگی شکست یک

می توان ضریب شدت تنش بزرگتری قبل از رشد ترک را مورد استفاده قرار داد. ضریب شدت تنش بحرانی برای رشد ترک معمولا با KC نشان داده می شود ولی در اینجا KIC برای رشد ترک در شیوه I مورد استفاده قرار می گیرد. وابستگی KIC به ضخامت در شکل (۱۳-۴) نشان داده شده است. پس از ضخامت مشخصی (BS) حالت کرنش صفحه ای غلبه کرده و چقرمگی به مقدار چقرمگی حالت کرنش صفحه ای، KIC می رسد و مادامی که B>BS است چقرمگی مستقل از ضخامت خواهد شد. به این ترتیب یک ضخامت بهینه وجود دارد (BO) که در آن چقرمگی به مقدار ماکزیمم خود می رسد این

بصورت خط افقی و گاهی کاهش می یابد. تاکنون توضیح جامعی برای علت تغییر چقرمگی برحسب ضخامت ارائه نشده است. با اینحال شکل (۱۳-۴) را می توان به صورت زیر توضیح داد.

در ابتدا بایستی توجه گردد که تنش در نوک ترک در حالت کرنش صفحه ای بیشتر از حالت تنش صفحه ای است. همچنین شکست در حالتی اتفاق می افتد که ترکیبی از

که همگی دارای طول یکسان بوده و تحت تنش یکسان  قرار دارند (شکل ۱۴-۴) و ضریب شدت تنش در تمام ورقها برابر باشد. بنابراین ارتفاع منطقه پلاستیک نیز در کلیه ورقها مساوی خواهد بود. این حالت در ردیف پائین شکل (۱۴-۴) نشان داده شده و منطقه پلاستیک نیز با هاشور مشخص شده است در ورقهای B4 , B3 , B2 ارتفاع منطقه

.و کرنش در این جهت صفر بوده و حالت کرنش صفحه ای برقرار می باشد. در ورق B1 ارتفاع منطقه پلاستیک برابر ضخامت آن بوده و امکان جاری شدن در جهت ضخامت

منطقه پلاستیک از بقیه ورقها بیشتر خواهد بود.

افزایش تنش به  باعث ایجاد تنش ها و کرنش های زیاد در ورق B4 شده و منجربه شکست آن می گردد. در اینحال ورق B3 در موقعیت مشابهی با ورق B4 قرار داشته و امکان رشد برخی ترکهای داخلی بوجود می آید. ولی بدلیل

دارای ارتفاع منطقه پلاستیک مساوی ضخامت ورق می باشد و بدان معناست که حالت تنش صفحه ای در حال گسترش در جهت ضخامت ورق می باشد.

افزایش بیشتر تنش به  باعث شکست در ورق B3 می

از B2 بوده است و بنابراین کرنش ها در ورق هنوز باندازه کافی بزرگ نشده است تا شکست اتفاق بیفتد، علیرغم آنکه تنش در B1 , B2 برابر است. شکست در B2

شکست می خورند زیرا کرنش در آنها بزرگتر خواهد بود.

 

۱-۵- نرخ رهایی انرژی

معیار انرژی گریفیث برای شکست اجسام دلالت بر این دارد که : رشد ترک هنگامی اتفاع می افتد که انرژی لازم برای ایجاد

الاستیک صورت پذیرد. برای ورقی با ضخامت واحد، شرط رشد ترک عبارتست از:

(۱-۵)

که در آن U انرژی الاستیک جذب شده در ورق، F کار انجام شده توسط بار خارجی و W انرژی برای شکل گیری ترک

: تعریف می شود.

ورقی با ضخامت B تحت بار P را در نظر بگیرید (شکل ۱-۵)، محل اعمال بار P به اندازه V تغییر مکان می دهد. وقتی طول ترک به اندازه da اضافه می شود تغییر شکل محل بار به اندازه Dv افزایش می یابد. بنابراین کار انجام شده توسط بار خارجی PdV می باشد.

(۲-۵)

که در آن B ضخامت ورق (توجه شود که معادله ۱-۵ برای ورقی با طول واحد می باشد) و Ut کل انرژی الاستیک در ورق است. با توجه به این که تغییر شکلها الاستیک در نظر

، تغییر مکان V متناسب با بار تغییر می کند: V=CP . که در آن C نرمی (عکس سختی) ورق است. برای ورق بدون ترک به طولL و عرض W و ضخامت B، نرمی عبارتست از :  که در آن E مدول الاستیسته می باشد.

بنابراین انرژی الاستیک موجود در ورق دارای ترک عبارتست از:

(۳-۵)

با مساوی قرار دادن معادلات (۲-۵) و (۳-۵) نتیجه خواهد شد:

(۴-۵)

ترمهای  حذف شده اند که دلالت بر آن دارد که G مستقل از تغییرات P است.

(۵-۵)

G همواره مشتق انرژی الاستیک است. (اگر بار ثابت باشد، U افزایش یافته و اگر تغییر مکان ثابت باشد U کاهش می یابد).

G را می توان

می یابد. این امر دلالت بر آن دارد که انرژی به اندازه مساحت مثلث OAB آزاد شده است. اگر گسترش ترک تحت بار ثابت اتفاق بیفتد، تغییر شکل باندازه  افزایش خواهد یافت. اگر گسترش ترک تحت بار ثابت اتفاق بیفتد، تغییر شکل به اندازه  افزایش خواهد یافت. کار انجام

.، مقدار انرژی باقیمانده نیز معادل OAE خواهد بود. با صرف نظر کردن از مثلث کوچک AEB نیتجه می‎شود:

OAB= OAE بنابراین انرژی لازم برای رشد ترک برای حالت بار ثابت و تغییر مکان ثابت یکسان است. انرژی G برای رشد ترک از طریق انرژی الاستیک قابل محاسبه بوده و «نرخ رهایی انرژی» نامیده می‎شود.

از آنجا که G بایستی متناسب با   باشد، بصورت انرژی بر واحد طول رشد ترک تعریف می گردد، یعنی عبارتست از انرژی حجم معین بر طول ضربدر ضخامت (G بر واحد ضخامت داده می‎شود). بنابراین G متناسب با واحد طول است:

ای حالت تنش صفحه ای نتیجه می‎شود . این نتیجه را می‎توان با روش دیگری نیز بدست آورد. ورق نامحدودی را با ترکی

نیز بصورت انرژی رها خواهد شد. با توجه به شکل (۳-۵) نتیجه می‎شود:

(۷-۵)

ضریب ۲ بدلیل آنست که ترک دارای لبه های بالایی و پایینی است. عدد ۲ در

با توجه به روابط بخش سوم نتیجه می‎شود:

(۸-۵)

با در نظر گرفتن  و پس از حل نتایج زیر بدست می‎آید:

تنش صفحه ای

بهمین ترتیب می‎توان نشان داد که برای شیوه های II و III نتیجه می‎شود:

(۱۳-۵)

نرخ رهایی انرژی کلی را می‎توان با جمع G برای شیوه های مختلف بارگذاری بدست آورد:

با استفاده از معادله (۱۲-۵) می‎توان G را برای ورقهای با ابعاد محدود و با بکارگیری ضرایب تصحیح بخش سوم برای K بدست آورد.

۲-۵- معیار رشد ترک

ترک هنگامی گسترش می یابد که G معادل انرژی لازم برای رشد ترک باشد. برای یک ماده شکننده مانند شیشه، انرژی لازم برای رشد ترک معادل انرژی سطحی برای تشکیل سطوح جدید آزاد خواهد بود، یعنی:

با استفاده از معادلات (۶-۵) و (۱۵-۵) ، می‎توان نوشت:

که همان معیار اولیه گریفیث است.

ایروین [۱] و اوروان [۲] خاطر نشان ساختند که انرژی موردنیاز برای رشد ترک در فلزات بسیار بیشتر از انرژی سطحی لازم

.صفحه ای برقرار می باشد، یعنی نمونه هایی که دارای ترکهایی با طولهای مختلف هستند در G یکسانی شکست می‌خورند.

این G بحرانی با  معرفی می‎شود. بنابراین در حالت کرنش صفحه ای  بوده و نتیجه خواهد شد:

معیار شکست را می‎توان به صورت ترسیمی در شکل (۴-۵) نشان داد. مقاومت رشد ترک، R مستقل از اندازه ترک بوده و بنابراین بصورت خط مستقیم R=GIC نشان داده می‎شود. نرخ رهایی انرژی عبارتست از:

برای تنش  نرخ رهایی انرژی متناسب با طول ترک می‎باشد. بنابراین G با خط مستقیم OA نشان داده می‎شود. اگر اندازه ترک a باشد، نرخ رهایی انرژی در تنش  با نقطه B نشان داده می‎شود. با افزایش تنش از  به  ، G از نقطه B به A افزایش خواهد یافت. در A ترک می‎تواند گسترش یابد زیرا شرط G=R تحقق یافته است.

با اعمال تنش  گسترش ترک به طول بیشتر a2 امکان‌پذیر خواهد بود (نقطه C).

حالت کلی تر معیار شکست در شکل (۵-۵) نشان داده شده است. در سمت راست،

F اضافه می‎شود. افزایش بیشتر تنش به  باعث ازدیاد G به نقطه H شده و شکست اتفاق می افتد.

گسترش ترک تحت تنش  باعث می‎شود که G در امتداد خط HK افزایش یابد و بزرگتر از R گردد. اگر ترکی به طول a2 از حالت تنش صفر به  بارگذاری شود، G از O به H افزایش می یابد (توجه گردد که LF و MH موازی هستند).

در H ترک گسترش می یابد: وقتی تنش در  باقی می ماند، نرخ رهایی انرژی خط HN را دنبال کرده و G بزرگتر از R می گردد.

در قسمت (۱-۵) ذکر شد که برای گسترش ترک تحت بار ثابت و یا تغییر مکان ثابت، G یکسان است. این حالت فقط

یابد. اگر ترک تحت تغییر مکان ثابت گسترش یابد، افت تنش اتفاق می افتد. از آنجا که: ، می‎توان دریافت که G کمتر از تناسب با a افزایش می یابد (شکل

مکان ثابت، G ممکن است با رشد ترک کاهش یابد.

متن کامل در نسخه قابل خرید موجود است.[/tab][tab title=”قسمت هایی از متن (۵)”]

انتگرال مداری

رایس با تعریف انتگرال مداری J بعنوان یک مشخصه شکست برای مواد با رفتار غیرخطی موفق شد روش مناسبی در گستره مکانیک شکست در محدوده ای فراتر از LEFM ارائه دهد شکل (۷-۶) منحنی تنش- کرنش را برای مواد با رفتار الاستیک غیرخطی و الاستیک- پلاستیک نشان می‎دهد. دو ماده رفتار یکسان در مرحله بارگذاری داشته ولی رفتار آنها در مرحله باربرداری متفاوت است. ماده الاستیک- پلاستیک در مرحله باربرداری، رفتار خطی با شیبی معادل با مدول الاستیسیته نشان می‎دهد در حالی که مسیر باربرداری در ماده با رفتار الاستیک غیرخطی در همان مسیر بارگذاری شده است.

گرچه رابطه بین تنش و کرنش برای تمام مواد الاستیک یکسان است ولی برای یک

.نیکی دو ماده یکسان است. در حالت اعمال تنش سه محوری، لزوماً

یل بر مبنای فرض رفتار الاستیک غیرخطی برای مواد با رفتار الاستیک- پلاستیک در صورتی که باربرداری صورت نگیرد معتبر

J را می‎توان به یک انتگرال مستقل از مسیر ارتباط داد.

هاتچینسن، رایس و روزنگرن همچنین نشان دادند که J به تنهایی مشخص کننده تنش ها و کرنش های نوک ترک در مواد با رفتار غیرخطی است. به این ترتیب J می‎تواند هم بعنوان یک مشخصه انرژی و هم یک مشخصه شدت تنش مورد استفاده قرار گیرد.

۱-۳-۶- نرخ رهایی انرژی غیرخطی

رایس یک انتگرال مداری مستقل از مسیر برای تحلیل ترک ارائه نمود و طی آن نشان داد که J در جسمی دارای ترک و با رفتار

شده در بخش پنجم مورد بررسی قرار گرفته و انتگرال J  در قسمت (۲-۳-۶) معرفی خواهد شد.

با استفاده از معادله (۱-۵)، نرخ رهایی انرژی G ، برای مواد با رفتار خطی تعریف شد . همان تعریف برای مواد الاستیک غیرخطی و با قرار دادن J به جای G قابل استفاده است:

که در آن  انرژی پتانسیل و A سطح  شکست است. انرژی پتانسیل عبارتست از:

که در آن U انرژی ذخیره شده در جسم و F  کار انجام شده توسط نیروهای خارجی است. ورقی دارای ترک را در نظر

ود، A=a خواهد بود. برای حالت بار ثابت نتیجه می شود:

که در آن U* انرژی کرنش مکمل بوده و به صورت زیر تعریف می شود:

لذا اگر ورق شکل (۸-۶) برای حالت بار ثابت در نظر گرفته شود، J بصورت زیر خواهد شد:

اگر ترک در حالت تغییر مکان ثابت پیشرتف کند، F=0 بوده و J بصورت زیر خواهد شد:

با مراجعه به شکل (۸-۶)، dU* برای حالت بار ثابت با مقدار –dU برای حالت تغییر مکان ثابت به مقدار  تفاوت می کند که در مقایسه با dU قابل صرف نظر است . بنابراین J برای حالت بار ثابت برابر با حالت تغییر مکان ثابت است. یادآوری می شود که این نتیجه برای G نیز در

بت یکسان خواهد بود. بنابراین J بیان عمومی تری از نرخ رهایی انرژی می باشد. برای حالت خاصی از یک ماده الاستیک خطی، J=G و برای بارگذاری در شیوه I نتیجه می‌شود:

(۱۸-۶)

تذکر یک نکته

.. برخلاف تعریف انرژی رها شده از یک جسم در زمان رشد ترک، معادله (۱۵-۶) رابطه J با تفاضل انرژی جذب شده بوسیله نمونه در اطراف نوک ترک بیان می دارد.

۲-۳-۶- J بعنوان یک انتگرال مستقل از مسیر

مسیر  را در خلاف جهت عقربه های ساعت پیرامون نوک ترکی مطابق شکل (۹-۶) در نظر بگیرید. انتگرال J عبارتست از:

که در

انرژی کرنشی عبارتست از:

که در آن  به ترتیب تانسورهای تنش و کرنش هستند. بردار عمود بر سطح همان بردار تنش عمود بر مدار است، بطوری که اگر پیکره آزاد قسمتی از مدار رسم شود، Ti بیان کننده تنش های عمود بر مدار است. مولفه های بردار عمومد بر سطح عبارتند از:

که در آن nj مولفه های بردار یکه عمود بر مدار

مستقل از مسیر نامیده می شود.

۳-۳-۶- J بعنوان یک ضریب شدت تنش

هاتچینسن، رایس و روزنگرن (HRR) بطور جداگانه نشان دادند که J می تواند مشخص کنند وضعیت نوک ترک برای یک ماده الاستیک غیرخطی باشد. هر یک از آنها رابطه بین کرنش

زیر بدست خواهد آمد:

که در آن  یک تنش مبنا و معمولا مقاومت تسلیم فرض می شود،  و  یک

ای برای انطباق بر منحنی های تنش- کرنش دارد.

 

برای این که حالت استقلال از مسیر حفظ شود، تنش و کرنش بایستی به نسبت  در محدوده نزدیک نوک ترک تغییر کند. در فواصل خیلی نزدیک به نوک ترک که منطقه کاملا پلاستیک شده

جلو نوک ترک به صورت زیر خواهند شد:

(a 23-6)

(b23-6)

که در آن k2 , k1 ثابت های تناسب بوده و بطور دقیق تعریف می شوند. برای یک ماده الاستیک خطی n=1 بوده و معادله (۲۲-۶) حالت تکینه  را پیش بینی می کند که با تئوری LEFM نیز سازگار است.

توزیع واقعی تنش و کرنش با اعمال شرایط مرزی مناسب به دست می آید:

 

 

 

(a24-6)

(b24-6)

که در آن In یک ثابت انتگرال وابسته به n و

نیز بستگی دارند (یعنی حالت تنش صفحه ای و یا کرنش صفحه ای).

معادلات (a24-6) و (b24-6) به حالت تکینه HRR معروف هستند که پس از هاتچینسن، رایس و روزنگرن به این عنوان نامیده شدند

-۶) تغییرات زاویه ای  را نشان می دهد. مولفه های تنش در شکل (۱۱-۶) به جای مختصات y , x در مختصات قطبی تعریف شده اند.

 

انتگرال J مشخص کننده دامنه حالت ایستایی HRR است. به همان ترتیب که ضریب شدت تنش، دامنه حالت استثنایی

 

ی کند و دیگری در منطقه پلاستیک که در آن تغییرات تنش با  متناسب است.

 

۴-۳-۶- منطقه کرنش بزرگ

حالت استثنایی LEFM , HRR از ضعف مشترکی در تعیین حالت تنش در نوک ترک برخوردار هستند، یعنی وقتی  هر دو تنش بی نهایت را

ه کرنش ها بزرگتر از تقریبا ۱/۰ (۱۰%) هستند، تئوری کرنش کوچک از اعتبار برخوردار نیست.

مک میکینگ و پارکس تحلیل نوک ترک را با استفاده از المانهای محدود با در نظر گرفتن تئوری کرنش بزرگ و تغییرات هندسی محدود انجام دادند. برخی از نتایج آنها در شکل (۱۲-۶)

.خواهد ماند.

در شکل (۱۲-۶) هنگامی که  معادل یک است، منحنی خط پر به

منحنی شدن نوک ترک باعث می‎شود که در اطراف نوک ترک وضعیت تنش با حالت HRR تفاوت پیدا کند. حالت تکینه HRR در این محدوده که در آن تنش ها از کرنش های بزرگ و منحنی شدن نوک ترک متاثر می شوند، غیرمعتبر خواهد بود.

عدم اعتبار تحلیل HRR در محدوده نوک ترک منجر به مطرح شدن این سوال گردیده است که: آیا انتگرال J می‎تواند بعنوان یک معیار شکست مفید برای مواقعی که

J به تنهایی مشخص کننده شرایط نوک ترک بوده و مقدار بحرانی J مستقل از ابعاد، چقرمگی شکست را اندازه می‎گیرد.

۵-۳-۶- اندازه گیری J با آزمایش:

هنگامی که رفتار ماده ای الاستیک خطی باشد، اندازه گیری J در یک نمونه نسبتاً ساده است زیرا J=G و G نیز با ضریب شدت تنش

. محاسبه انتگرال J برای مواد با رفتار غیرخطی بسیار مشکل است.

اصل جمع بندی جداگانه آثار قابل استفاده نبوده و متناسب با

تعیین J بر مبنای کاربرد انتگرال مداری (

مشخصی از اطراف نوک تیر تعیین شده و J مطابق معادله (۱۹-۶) قابل محاسبه خواهد بود. روش مداری در تعیین J در بسیاری از مواقع غیرعملی می‎باشد. نصب تجهیزات اندازه گیری در اطراف ترک پرزحمت بوده و روش مداری در برخی محاسبات عددی مورد توجه نیست.

لندس و بگلی [۹ و ۱۰]

نشان می‎دهد. آنها نمونه های متعدد آزمایشی با ابعاد هندسی و مواد یکسان ولی ترکهایی با طولهای متفاوت را ساختند. هریک از نمونه ها را تحت بار قررا داده و نمودار بار تغییر مکان آنها را بدست آوردند (شکل a13-6). مساحت زیر منحنی هر یک

با ترک لبه ای با ضخامت B ، انتگرال J بصورت زیر خواهد بود:

به این ترتیب J را می‎توان با به دست آوردن شیب مماس بر منحنی های شکل (b13-6) بدست آورد. بکار گرفتن معادله (۲۵-۶) منجر به نتیجه شکل (c13-6) می گردد که در آن تغییرات J در مقابل تغییر مکان در طولهای مختلف ترک رسم شده است.

۴-۶- رابطه بین J و CTOD

برای یک ماده با رفتار الاستیک خطی، رابطه بین CTOD و G در معادله (۸-۶) داده

منطقه محدود پلاستیک در نوک ترک بکار برد. به این ترتیب:

که در آن m یک ثابت بدون بعد بوده و به حالت تنش و خواص ماده بستگی دارد. می‎توان نشان داد که معادله (۲۶-۶) برای مواد با رفتار غیرخطی نیز معتبر می‎باشد. نوار

ترک باندازه کافی بلند و باریک باشد، یعنی اگر ، اولین ترم انتگرال از بین رفته زیرا dy=0 می‌گردد.

از آنجا که

زیر می گردد:

مختصات جدیدی در مبدأ یعنی نوک ترک نوار تسلیم شده تعریف می گردد بطوری که .

اگر  ثابت باشد،

تنها به

انتگرال J عبارتست از:

که در آن  است. از آنجا که در مدل نوار تسلیم شده فرض  در منطقه پلاستیک منظور شده است، رابطه J-CTOD بصورت زیر خواهد شد:

به تشابه معادلات (۲۹-۶) و (۷-۶) توجه کنید. معادله (۷-۶) از مدل نوار تسلیم شده با حذف ترمهای بزرگتر بسط سری معادله (۶-۶) بدست آمده، در صورتی که چنین فرضی در معادله (۲۹-۶) در نظر

پیش بینی می‌کند که برای مواد با رفتار الاستیک خطی و همچنین الاستیک- پلاستیک m=1 می‎باشد.

۱-۷- مقدمه:

بررسی رشد ترک تحت بارهای خستگی از مباحث اساسی در مکانیک شکست اجسام به شمار می‎آید. پیش بینی عمر مواد تحت اثر .

تنش

تنش های متناوب با دامنه ثابت را می‎توان با سه عامل نشان داد: تنش متوسط ، دامنه تنش  و فرکانس ،

می‎باشد. می‎توان از پارامترهای دیگری نیز نظیر تنش مینیمم  که مستقیماً مقادیر تنش را نشان می دهند و  نیز استفاده کرد.

عمر رشد ترک، N به صورت مقدار سیکل لازم برای رشد یک ترک تحت

هندسی آن در اثر مکانیزم لغزش و انحنادار شدن نوک ترک است.

رشد ترک در اثر تغییر شرایط هندسی آن در اثر مکانیزم

می‎باشد. وقتی اندازه منطقه پلاستیک در نوک ترک در مقایسه با طول ترک کوچک باشد، ضریب شدت تنش مشخصه مناسبی برای

در نوک ترک را می‎توان با استفاده از ضریب شدت تنش، با درنظر گرفتن  تعریف کرد که در آن  یک عدد ثابت است. اگر  تنش نرمال اعمال شده باشد، در یک سیکل مقدار آن از به  در محدوده  تغییر می‌کند.

بنابراین تنش های محلی در نوک ترک به صورت زیر تغییر می‌کند:

(۱-۷)

نرخ گسترش ترک در اثر خستگی بر سیکل، ، با تغییرات ضریب شدت تنش بیان می‎شود:

(۲-۷)

معادله (۲-۷) را می‎توان به صورت یک تابع نمایی زیر تعریف کرد:

که در آن mp , Cp ثابت مواد می باشند. معادله (۳-۷) به معادله پاریس معروف است. مقادیر mp , Cp را می‎توان به آسانی

باشد (یعنی ) ضریب هندسی  را می‎توان تقریبا معادل یک در نظر گرفت. بنابراین  خواهد شد. رشد ترک در فواصل هر ۱۰۰۰۰۰ سیکل اندازه گیری می‎شود. نتایج در شکل (b2-7) نشان داده شده است.

برای رشد ترک باندازه ، مقدار  سیکل لازم است بطوری که نرخ رشد ترک  می‎باشد. هدف بدست آوردن نرخ رشد ترک بصورت تابعی از ، یعنی دامنه تغییرات شدت تنش می‎باشد. اندازه متوسط ترک در  برابر  است. دامنه تنش، ، و بنابراین نتیجه می‎شود:  بدین ترتیب یک مقدار  می‎تواند رشد ترکی با نرخ  را ایجاد کند. این نتیجه در شکل (c2-7) بصورت نمودار  و  ترسیم شده است

ه ای یکسان دارای ضریب شدت تنش معادل باشد،‌ شرایط تنش در نوک هر دو ترک یکسان خواهد بود. یعنی اگر  یکسان باشد، نرخ رشد ترک نیز مانند هم می‎باشد.

متن کامل در نسخه قابل خرید موجود است.[/tab][tab title=”قسمت هایی از متن (۶)”]

منطقه کرنش بزرگ

حالت استثنایی LEFM , HRR از ضعف مشترکی در تعیین حالت تنش در نوک ترک برخوردار هستند، یعنی وقتی  هر دو تنش بی نهایت را

ه کرنش ها بزرگتر از تقریبا ۱/۰ (۱۰%) هستند، تئوری کرنش کوچک از اعتبار برخوردار نیست.

مک میکینگ و پارکس تحلیل نوک ترک را با استفاده از المانهای محدود با در نظر گرفتن تئوری کرنش بزرگ و تغییرات هندسی محدود انجام دادند. برخی از نتایج آنها در شکل (۱۲-۶)

.خواهد ماند.

در شکل (۱۲-۶) هنگامی که  معادل یک است، منحنی خط پر به

منحنی شدن نوک ترک باعث می‎شود که در اطراف نوک ترک وضعیت تنش با حالت HRR تفاوت پیدا کند. حالت تکینه HRR در این محدوده که در آن تنش ها از کرنش های بزرگ و منحنی شدن نوک ترک متاثر می شوند، غیرمعتبر خواهد بود.

عدم اعتبار تحلیل HRR در محدوده نوک ترک منجر به مطرح شدن این سوال گردیده است که: آیا انتگرال J می‎تواند بعنوان یک معیار شکست مفید برای مواقعی که

J به تنهایی مشخص کننده شرایط نوک ترک بوده و مقدار بحرانی J مستقل از ابعاد، چقرمگی شکست را اندازه می‎گیرد.

۵-۳-۶- اندازه گیری J با آزمایش:

هنگامی که رفتار ماده ای الاستیک خطی باشد، اندازه گیری J در یک نمونه نسبتاً ساده است زیرا J=G و G نیز با ضریب شدت تنش

. محاسبه انتگرال J برای مواد با رفتار غیرخطی بسیار مشکل است.

اصل جمع بندی جداگانه آثار قابل استفاده نبوده و متناسب با

تعیین J بر مبنای کاربرد انتگرال مداری (

مشخصی از اطراف نوک تیر تعیین شده و J مطابق معادله (۱۹-۶) قابل محاسبه خواهد بود. روش مداری در تعیین J در بسیاری از مواقع غیرعملی می‎باشد. نصب تجهیزات اندازه گیری در اطراف ترک پرزحمت بوده و روش مداری در برخی محاسبات عددی مورد توجه نیست.

لندس و بگلی [۹ و ۱۰]

نشان می‎دهد. آنها نمونه های متعدد آزمایشی با ابعاد هندسی و مواد یکسان ولی ترکهایی با طولهای متفاوت را ساختند. هریک از نمونه ها را تحت بار قررا داده و نمودار بار تغییر مکان آنها را بدست آوردند (شکل a13-6). مساحت زیر منحنی هر یک

با ترک لبه ای با ضخامت B ، انتگرال J بصورت زیر خواهد بود:

به این ترتیب J را می‎توان با به دست آوردن شیب مماس بر منحنی های شکل (b13-6) بدست آورد. بکار گرفتن معادله (۲۵-۶) منجر به نتیجه شکل (c13-6) می گردد که در آن تغییرات J در مقابل تغییر مکان در طولهای مختلف ترک رسم شده است.

۴-۶- رابطه بین J و CTOD

برای یک ماده با رفتار الاستیک خطی، رابطه بین CTOD و G در معادله (۸-۶) داده

منطقه محدود پلاستیک در نوک ترک بکار برد. به این ترتیب:

که در آن m یک ثابت بدون بعد بوده و به حالت تنش و خواص ماده بستگی دارد. می‎توان نشان داد که معادله (۲۶-۶) برای مواد با رفتار غیرخطی نیز معتبر می‎باشد. نوار

ترک باندازه کافی بلند و باریک باشد، یعنی اگر ، اولین ترم انتگرال از بین رفته زیرا dy=0 می‌گردد.

از آنجا که

زیر می گردد:

مختصات جدیدی در مبدأ یعنی نوک ترک نوار تسلیم شده تعریف می گردد بطوری که .

اگر  ثابت باشد،

تنها به

انتگرال J عبارتست از:

که در آن  است. از آنجا که در مدل نوار تسلیم شده فرض  در منطقه پلاستیک منظور شده است، رابطه J-CTOD بصورت زیر خواهد شد:

به تشابه معادلات (۲۹-۶) و (۷-۶) توجه کنید. معادله (۷-۶) از مدل نوار تسلیم شده با حذف ترمهای بزرگتر بسط سری معادله (۶-۶) بدست آمده، در صورتی که چنین فرضی در معادله (۲۹-۶) در نظر

پیش بینی می‌کند که برای مواد با رفتار الاستیک خطی و همچنین الاستیک- پلاستیک m=1 می‎باشد.

۱-۷- مقدمه:

بررسی رشد ترک تحت بارهای خستگی از مباحث اساسی در مکانیک شکست اجسام به شمار می‎آید. پیش بینی عمر مواد تحت اثر .

تنش

تنش های متناوب با دامنه ثابت را می‎توان با سه عامل نشان داد: تنش متوسط ، دامنه تنش  و فرکانس ،

می‎باشد. می‎توان از پارامترهای دیگری نیز نظیر تنش مینیمم  که مستقیماً مقادیر تنش را نشان می دهند و  نیز استفاده کرد.

عمر رشد ترک، N به صورت مقدار سیکل لازم برای رشد یک ترک تحت

هندسی آن در اثر مکانیزم لغزش و انحنادار شدن نوک ترک است.

رشد ترک در اثر تغییر شرایط هندسی آن در اثر مکانیزم

می‎باشد. وقتی اندازه منطقه پلاستیک در نوک ترک در مقایسه با طول ترک کوچک باشد، ضریب شدت تنش مشخصه مناسبی برای

در نوک ترک را می‎توان با استفاده از ضریب شدت تنش، با درنظر گرفتن  تعریف کرد که در آن  یک عدد ثابت است. اگر  تنش نرمال اعمال شده باشد، در یک سیکل مقدار آن از به  در محدوده  تغییر می‌کند.

بنابراین تنش های محلی در نوک ترک به صورت زیر تغییر می‌کند:

(۱-۷)

نرخ گسترش ترک در اثر خستگی بر سیکل، ، با تغییرات ضریب شدت تنش بیان می‎شود:

(۲-۷)

معادله (۲-۷) را می‎توان به صورت یک تابع نمایی زیر تعریف کرد:

که در آن mp , Cp ثابت مواد می باشند. معادله (۳-۷) به معادله پاریس معروف است. مقادیر mp , Cp را می‎توان به آسانی

باشد (یعنی ) ضریب هندسی  را می‎توان تقریبا معادل یک در نظر گرفت. بنابراین  خواهد شد. رشد ترک در فواصل هر ۱۰۰۰۰۰ سیکل اندازه گیری می‎شود. نتایج در شکل (b2-7) نشان داده شده است.

برای رشد ترک باندازه ، مقدار  سیکل لازم است بطوری که نرخ رشد ترک  می‎باشد. هدف بدست آوردن نرخ رشد ترک بصورت تابعی از ، یعنی دامنه تغییرات شدت تنش می‎باشد. اندازه متوسط ترک در  برابر  است. دامنه تنش، ، و بنابراین نتیجه می‎شود:  بدین ترتیب یک مقدار  می‎تواند رشد ترکی با نرخ  را ایجاد کند. این نتیجه در شکل (c2-7) بصورت نمودار  و  ترسیم شده است

ه ای یکسان دارای ضریب شدت تنش معادل باشد،‌ شرایط تنش در نوک هر دو ترک یکسان خواهد بود. یعنی اگر  یکسان باشد، نرخ رشد ترک نیز مانند هم می‎باشد.

 

۳-۷- رشد ترک با دامنه ثابت در یک سازه

در اکثر سازه ها معمولاً بار با دامنه متغیر وارد می‎شود که در این صورت تحلیل رشد ترک پیچیده می‎شود. با وجود این، در برخی موارد می‎توان با فرض اعمال بار با دامنه ثابت، بدون استفاده از کامپیوتر تحلیل ساده ای را انجام داد. رشد ترک در یک سازه را می‎توان با استفاده از نمودار نرخ رشد ترک تحلیل نمود. منحنی رشد ترک در یک سازه از نرخ انتگرال زیر پیروی می‌کند:

  •          و یا

پس از انتگرال گیری نتیجه می‎شود:

(۴-۷)

 

.یز دانه ای، نظیر فضای خالی بین دانه ای، خزش مرحله نهایی را تشدید می‌نماید.

رابطه (۲۶-۸) بشکل های مختلف توسط محققین [۱۲-۸] مورد استفاده قرار گرفته است. این رابطه در پیوست (ب) ارائه شده است.

رابطه (۲۶-۸) برای مواد با رفتار وابسته بزمان نیز معتبر است. وقتی J برای این گونه مواد بدست می آید، بیان W بصورت زیر مناسب تر می‎باشد:

(۲۹-۸)

که در آن  نرخ کرنش است.

برخلاف روشهای متداول برای محاسبه انتگرال J ، مدار بسته در رابطه (

مدار دوم نرسیده باشد، مقدار انتگرال برای دو مدار یکسان نخواهد بود. بدین ترتیب انتگرال J بطور کلی مستقل از مسیر نیست، مگر اینکه

.خواهد شد. در اینحالت حالت ناپیوستگی J نسبت به مسیر حفظ شده و W پتانسیل الاستیک جسم خواهد بود.

به هنگام رشد ترک در درجات حرارت بالا، هر چهار مرحله مربوط به خزش می‎تواند به طور همزمان رخ دهد، شکل (۱۷-۸)

و در فواصل بین این دو حالت می‎تواند خزش مرحله ۱ و ۲ حکمفرما باشد.

در بررسی تحلیلی رشد ترک در حالت خزش، معمولاً حالتهای ساده تری را مورد بررسی قرار می‎گیرد که در آن یک یا چند حالت بیان شده فوق وجود نداشته باشند. برای مثال اگر عمدتاً جسم در حالت الاستیک باشد و منطقه خزش محدود به منطقه کوچکی در اطراف ترک شود، رشد ترک به کمک ضریب شدت تنش تحلیل می گردد. در حالت دیگر اگر همه جسم در وضعیت خزش مرحله ۲ قرار داشته باشد، خزش مرحله ۳ و کرنش الاستیک می‎تواند صرف نظر گردد.

در قسمتهای زیر پارامتری که برای مرحله دوم خزش بکار می رود مورد بحث قرار می گیرد، بطور خلاصه انتقال از حالت الاستیک به حالت خزش پایدار بررسی می‎شود.

۴-۸- مکانیک شکست ویسکوالاستیک

در سالهای اخیر مواد پلیمر در سازه ها کاربرد زیادی پیدا

بعلت رفتار ویسکوالاستیسیته این مواد، بیشتر مکانیزمهای شکست ارائه شده برای فلزات، نمی تواند برای پلیمرها مورد استفاده قرار گیرد.

تحلیل تئوری مکانیک شکست اجسام ویسکوالاستیک نسبتاً جدید است

بیشتر از کارهای شاپری استفاده می‎شود. تئوری ارائه شده توسط شاپری کاملترین مبنا بوده و دست آوردهای او با J و C* ارتباط داده شده است.

۱-۴-۸- ویسکوالاستیسیته خطی

ویسکوالاستیسیته کلیترین و پیچیده ترین نوع رفتار وابسته به

تغییر شکل دائم در نظر گرفته می شود، در اجسام

  • رفتار ویسکوالاستیک خطی مواد مورد بررسی قرار می‎گیرد. در این حالت منظور از خطی این است که جمع آثار و تناسب در آنها می‎تواند مورد استفاده قرار گیرد. شرط اول بدین مفهوم است که تنش ها و کرنش ها در زمان t قابل جمع شدن هستند. برای مثال دو کرنش تک محوری در زمان t ، و دو تنش مربوط به آنها  را در نظر

اگر یک آزمایش خزش تحت تنش ثابت تک محوری روی یک جسم ویسکوالاستیک خطی انجام شود بطوری که برای t<0 ،  و برای t>0 ،

که در آن D(t) نرمی خزش می‎باشد. بارگذاری در این حالت می‎تواند بصورت  بیان شود، که در آن H(t) یک تابع پله ای بصورت زیر است:

در حالت کرنش تک محوری ثابت،  تنش به صورت زیر بیان می گردد:

که در آن  مدول افت نش می‎باشد. وقتی  مثبت است، تنش با زمان کم خواهد شد. شکل (۱۹-۸) بصورت شماتیک خزش در تنش ثابت و افت تنش

می‎آید. نمو کرنش در زمان ، که در آن  ، از نمو تنش  بصورت زیر به دست می‎آید:

با انتگرال گرفتن از این رابطه نسبت به زمان t نتیجه می‎شود:

که در آن فرض شده است: ؟؟؟

شکل (۱۹-۸) شکل شماتیک تغییر شکل ویسکوالاستیک (a) خزش در تنش ثابت (b) افت تنش در کرنش ثابت.

برای این که تغییر ناپیوسته تنش در t=0 امکان‌پذیر باشد، حد پائین انتگرال یک زمان بسیار کوچک قبل از t=0 ، صفر در

لاپلاس به روابط (۵۹-۸) و (۶۰-۸) می‎توان رابطه ای به صورت زیر بین وادادگی خزش و مدول افت تنش بدست آورد:

برای تغییر شکل در حالت سه بعدی، انتگرال کلی برای کرنش به صورت زیر است:

با اعمال تقارن تعداد ثابت های نرمی خزش به دست می‎آید. برای مواد

. بصورت زیر بیان نمود:

که در آن ER مدول مرجع نامیده می‎شود. با قرار دادن رابطه (۶۳-۸) در رابطه (۵۹-۸) نتیجه می‎شود:

شبه کرنش های حالت سه محوری به تانسورهای تنش به کمک قانون هوک وابسته اند. با فرض رفتار ایزوتروپ:

 

به صورت زیر خواهد بود:

مزیت معربی شبه کرنش ها در این است که آنها را می‎توان به کمک قانون هوک به تنش ها ارتباط داد. بدین ترتیب اگر حل الاستیک خطی برای یک هندسه خاص شناخته شده باشد، می‎توان حل ویسکوالاستیک خطی آنرا به کمک

می آیند. این یک قسمت خاص از اصل وابستگی است و مشابه تشابه هاف برای اجسام الاستیک و ویسکوز می‎باشد.

۲-۴-۸- انتگرال ویسکوالاستیک

معادلات مشخصه:

شاپری یک انتگرال کلی ارائه داد که برای تعداد زیادی از مواد ویسکوالاستیک قابل استفاده است. او از رابطه مشخصه ویسکوالاستیک غیرخطی به شکل انتگرال کلی زیر استفاده کرد:

که در آن حد پائین انتگرال  است. شبه کرنش الاستیک،  به تنش با رابطه مشخصه خطی یا غیرخطی وابسته می‎باشد. تشابه روابط (۶۶-۸) و (۶۸-۸) واضح است، ولی رابطه دومی می‎تواند برای انواع معینی از رفتار ویسکوالاستیک بکار رود و نرمی خزش، D(t) مفهوم متفاوتی برای حالت غیرخطی دارد.

تانسور شبه کرنش و مدول مرجع در رابطه (۶۸-۸) مشابه حالت خطی هستند. در قسمت

به مسائل الاستیک غیرخطی استفاده می‎شود.

معکوس رابطه (۶۸-۸) بصورت زیر خواهد بود:

چون انتگرال کلی از نوع (۶۸-۸) و (۶۹-۸) در ادامه این بحث مرتباً مورد استفاده قرار می گیرند، نمادهای زیر برای آنها در نظر گرفته می‎شود:

(a70-8)

و

(b70-8)

که در آن f تابعی از زمان است. در هر حالت فرض می‎شود که انتگرال

(۶۸-۸) و (۶۹-۸) بصورت زیر درمی آیند:

اصل وابستگی

دو جسم با شکل هندسی یکسان، یکی از جسم الاستیک و دیگری از جسم ویسکوالاستیکی که با رابطه (۶۸-۸) بیان می شود، در نظر گرفته می‎

مربوط به آنها به صورت زیر به هم وابسته اند:

روابط (۷۱-۸)، اصل وابستگی که توسط شاپری معرفی شد و برای حل یک مساله ویسکوالاستیک مورد استفاده است، را نشان می‎

روی مرزها رابطه زیر برقرار است:

کاربرد اصل وابستگی برای ویسکوالاستیسیته، معمولاً همراه با انتقال لاپلاس روی انتگرال موروثی از نوع رابطه (۶۲-۸) می‎باشد که شامل تنش ها و کرنش های واقعی است.

انتگرال کلی J :

به کمک اصل وابستگی در رابطه (۷۱-۸)، می‎توان یک بیان کلی برای انتگرال J با استفاده از تشابه با حالت الاستیک غیرخطی بصورت زیر بدست آورد:

که در آن w‑e دانسیته انرژی شبه کرنش بصورت زیر می‎باشد:

  • تنش ها در رابطه (۷۲-۸) مقادیر واقعی هستند و حال آنکه کرنش ها و تغییر مکانها و مقادیر شبه الاستیک می باشند. مقادیر حقیقی کرنش ها و تغییر مکانها توسط
  • .

ضریب شدت تنش به هندسه نمونه، بار وارده، و ابعاد ترک با روابط استاندارد وابسته می‎باشد.

راه اندازی و رشد ترک

برای

نوک ترک، که در آن تنش بسته شدن  با x تغییر نکند، با استفاده از رابطه (۴۴-۸) نتیجه می‎شود:

که در آن  شبه فاصله باز شدن ترک است و با مقدار واقعی CTOD از طریق انتگرال کلی از نوع رابطه (۷۷-۸) وابسته می‎باشد. بنابراین CTOD بصورت زیر می‎باشد:

(۷۹-۸)

هر چند فرض شد که در زمان t ،  وابسته به x نیست، در رابطه (۷۹-۸)

ی‎توان به دست آورد.

یک معیار نارسایی موضعی دیگر کار شکست Wf می‎باشد. با برابر قرار دادن کار ورودی به نوک ترک با انرژی لازم برای پیشروی نوک ترک باندازه
da رابطه تعادل زیر برای راه اندازی بدست می‎آید:

که در آن ضخامت واحد و بارگذاری به شیوه I فرض شده است.

تعادل انرژی رابطه (۸۰-۸) را می‎توان به صورت زیر نیز نوشت:

با قرار دادن رابطه (۷۹-۸) در رابطه (۸۱-۸) نتیجه می‎شود:

اگر  مستقل از مان باشد در رابطه (۸۲-۸) حذف می‎شود و این رابطه به صورت ساده زیر در می‎آید:

(۸۳-۸)

برای یک جسم الاستیک  است و    خواهد شد. اگر منطقه نارسایی ویسکوالاستیک و محیط اطراف آن الاستیک و پیوسته باشد، JV ممکن است با زمان تغییر کند.

 

با قرار دادن این نتیجه در رابطه (۸۳-۸) و انتگرال گیری جز به جز نتیجه خواهد شد:

۳-۴-۸- انتقال از رفتار خطی به رفتار غیرخطی

برخی پلیمرها در تنش های کم ویسکوالاستیک خطی هستند و حال آنکه در تنش های بالا غیرخطی می باشند. یک نمونه دارای

.

اخیراً شاپری

مربوط به کرنشهای و یک سو الاستیک خطی و دیگری مربوط به کرنش های غیرخطی، بیان شده است.

برای حالتی که جسم تحت تنش کششی تک محوری،  قرار دارد، کرنش خزشی در این مدل به صورت زیر داده شده است:

(۸۵-۸)

که در آن DL , D نرمی خزش غیرخطی و خطی ،  تنش مبنا می‎باشد.

در تنش های کم و زمانهای کوتاه، ترم دوم رابطه (۸۵-۸) غالب است، و حال آنکه ترم اول برای تنش های بالا و زمانهای طولانی غالب خواهد بود. برای یک جسم ویسکوالاستیک، با ترک ساکن و بار ثابت، منطقه غیرخطی

متن کامل در نسخه قابل خرید موجود است.[/tab][/tabgroup]

خرید و دانلود فوری

نسخه کامل و آماده
4900تومانبرای دریافت نسخه کامل

141 صفحه فارسی

فونت استاندارد/Yagut/14

فرمت فایل WORDوPDF

دارای ضمانت بازگشت وجه

نسخه قابل ویرایش+نسخه آماده چاپ

دریافت فوری + ارسال به ایمیل

تاریخچه‌ای از مکانیک شکست
تجربه کشتی‌های لیبرتی
تجربه هواپیماهای کمت[۱]
تحقیقات در مکانیک در مکانیک شکست پس ازجنگ دوم جهانی
– طراحی با روش مکانیک شکست
– روش ضریب شدت تنش
– اثر تمرکز تنش ترک
موازنه انرژی گریفیث
– تحلیل مسائل ترک
– اثر ابعاد حدود
– ترمیم منطقه پلاستیک بروش ایروین
– ترمیم منطقه پلاستیک بروش داگدیل
کرنش صفحه ای در مقابل تنش صفحه ای
تغییر مکان نوک ترک CTOD
– انتگرال مداری J

+ فهرست فارسی
تاریخچه‌ای از مکانیک شکست
تجربه کشتی‌های لیبرتی
تجربه هواپیماهای کمت[۱]
تحقیقات در مکانیک در مکانیک شکست پس ازجنگ دوم جهانی
– طراحی با روش مکانیک شکست
– روش ضریب شدت تنش
– اثر تمرکز تنش ترک
موازنه انرژی گریفیث
– تحلیل مسائل ترک
– اثر ابعاد حدود
– ترمیم منطقه پلاستیک بروش ایروین
– ترمیم منطقه پلاستیک بروش داگدیل
کرنش صفحه ای در مقابل تنش صفحه ای
تغییر مکان نوک ترک CTOD
– انتگرال مداری J

[well boxbgcolor=”#e5e5e5″ class=”fontawesome-section”][tblock title=”برای مشاهده تمام پروژه ها ، تحقیق ها و پایان نامه های مربوط به رشته ی خود روی آن کلیک کنید.”][/well]

(برای امنیت و سهولت بیشتر پیشنهاد میشود با نرم افزارهای موزیلا فایر فاکس و یا گوگل کروم وارد شوید)

***************************

*************************************

پرداخت از درگاه امن شاپرک  با همکاری شرکت زرین پال صورت میگیرد

 ۱۵ درصد از درآمد فروش این فایل به کودکان سرطانی(موسسه خیریه کمک به کودکان سرطانی) اهدا میشود

پس از پرداخت،علاوه بر ارسال فوری فایل ها به ایمیلتان،مستقیماً به صورت اتوماتیک به لینک دانلود فایل ها  ارجاع داده میشوید.

در صورت نیاز به هرگونه راهنمایی با ایمیل (MASTER@NEXAVARE.COM) یا شماره تماس پشتیبان (۰۹۳۶۹۲۵۴۳۲۹) در ارتباط باشید

[alert type=”alert-danger”]کاربر گرامی، برای تهیه این اثر هزینه و زمان زیادی صرف شده است.که اکنون با این قیمت ناچیز در اختیار شما قرار گرفته است.لطفاً  تنها جهت استفاده دانشجویی یا شخصی خرید نمایید.همچنین اگر مدیر یک وبسایت یا وبلاگ هستید خواهش میکنیم آن را کپی نکنید.و یا در صورت کپی منبع را به صورت لینک درج نمایید. ضمناً شرعاً هم لازم به کسب رضایت است که به علت زحمت زیاد در انتشار ، کارشناسان ما رضایت استفاده بدون پرداخت هزینه آن را ندارند.تشکر از حمایت شما[/alert]


درباره نویسنده

publisher4 206 نوشته در سیستم همکاری در خرید و فروش فایل نگزاوار دارد . مشاهده تمام نوشته های

دیدگاه ها


دیدگاه‌ها بسته شده‌اند.